Исследовать функцию и построить график y x. Исследовать функцию вида. Графический способ построения функции
Стоит задача: провести полное исследование функции и построить ее график .
Каждый студент прошел через подобные задачи.
Дальнейшее изложение предполагает хорошее знание . Рекомендуем обращаться к этому разделу при возникновении вопросов.
Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.
- во-первых, находим производную;
- во-вторых, находим критические точки;
- в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;
- в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.
- во-первых, находим вторую производную;
- во-вторых, находим нули числителя и знаменателя второй производной;
- в-третьих, разбиваем область определения полученными точками на интервалы;
- в-четвертых, определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» - промежутку выпуклости.
Нахождение области определения функции.
Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.
В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.
(В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом:
для корня четной степени, например, - область определения находится из неравенства ;
для логарифма - область определения находится из неравенства ).
Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.
На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты , если в этих граничных точках бесконечны.
В нашем примере граничными точками области определения являются .
Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы:
Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.
Исследование функции на четность или нечетность.
Функция является четной , если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.
Функция является нечетной , если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.
Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.
В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy .
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.
Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными .
Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.
ЗАМЕЧАНИЕ (включать ли критические точки в промежутки возрастания и убывания).
Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции
Поехали!
Находим производную на области определения (при возникновении сложностей, смотрите раздел ).
Находим критические точки, для этого:
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.
Делаем вывод:
Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.
Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.
В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).
Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.
Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно.
Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.
Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.
Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции :
Поехали!
Находим вторую производную на области определения.
В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.
Делаем вывод:
Точка называется точкой перегиба , если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .
Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.
В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.
Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.
Наклонные асимптоты ищутся в виде прямых , где и .
Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станет горизонтальной .
Кто такие вообще эти асимптоты?
Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции.
Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.
Для нашего примера
- горизонтальная асимптота.
На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.
Вычисляем значения функции в промежуточных точках.
Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).
Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2
, х=-1
, х=-3/4
, х=-1/4
. В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2
, х=1
, х=3/4
, х=1/4.
Построение графика.
Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).
Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.
Этим шедевром изобразительного искусства задача полного исследования функции и построения графика закончена.
Графики некоторых элементарных функций можно строить с использованием графиков основных элементарных функций.
Как исследовать функцию и построить её график?
Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках , и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции . Долгожданное задание формулируется следующим образом:
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график
Или короче: исследовать функцию и построить график.
Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование.
Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции , это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы .
Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов:
6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.
На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании.
Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график».
Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой.
Проверим функцию на чётность/нечётность:
После чего следует шаблонная отписка:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.
Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.
Нет и наклонных асимптот.
Примечание : напоминаю, что более высокого порядка роста , чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности».
Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:
Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях
.
Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу . Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции : – тоже любое действительное число.
ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ
Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции
, поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:
Заметьте, что в силу непрерывности
функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?
3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.
Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :
Полтора над уровнем моря.
Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:
В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу.
Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано
, но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый
корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!
Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж.
Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка:
Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы .
В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение:
А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня .
На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов
определим знаки функции:
ог Таким образом, на интервалах график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси .
Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:
Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов
.
4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
Найдём критические точки:
Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума: .
В точке функция достигает минимума: .
Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:
Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика:
5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдём критические точки второй производной:
Определим знаки :
График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .
Практически всё прояснилось.
6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:
Выполним чертёж:
Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.
По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.
Для самостоятельного решения:
Пример 2
Исследовать функцию и построить график.
Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.
Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:
Пример 3
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.
Решение : первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения : .
, значит, данная функция не является четной или нечетной.
Очевидно, что функция непериодическая.
График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.
2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота:
Действительно, функции терпит бесконечный разрыв
в точке ,
а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой
графика .
б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты:
Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если .
Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу .
Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок:
Вывод №1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть.
Вывод №2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы.
Вывод №3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах.
Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам.
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
График функции не пересекает ось .
Методом интервалов определим знаки :
, если ;
, если .
Результаты пункта полностью соответствуют Выводу №1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции.
В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования:
Собственно, это уже проделывалось при нахождении асимптот.
– критическая точка.
Определим знаки :
возрастает на и убывает на
В точке функция достигает минимума: .
Разночтений с Выводом №2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути.
Значит, график функции является вогнутым на всей области определения.
Отлично – и чертить ничего не надо.
Точки перегиба отсутствуют.
Вогнутость согласуется с Выводом №3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты.
6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки.
И картинка, которую, наверное, многие давно представили:
В ходе выполнения задания нужно тщательно следить за тем, чтобы не возникало противоречий между этапами исследования, но иногда ситуация бывает экстренной или даже отчаянно-тупиковой. Вот «не сходится» аналитика – и всё тут. В этом случае рекомендую аварийный приём: находим как можно больше точек, принадлежащих графику (сколько хватит терпения), и отмечаем их на координатной плоскости. Графический анализ найденных значений в большинстве случаев подскажет, где правда, а где ложь. Кроме того, график можно предварительно построить с помощью какой-нибудь программы, например, в том же Экселе (понятно, для этого нужны навыки).
Пример 4
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график.
Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку.
Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа:
Пример 5
Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение : понеслась нелёгкая:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: .
Значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.
Очевидно, что функция непериодическая.
2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют
Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное
исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя
:
Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при .
Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно».
Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу .
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.
Здесь тоже сокращаем решение:
График проходит через начало координат.
Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если ;
, если .
4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.
– критические точки.
Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть.
Определим знаки производной:
Функция возрастает на интервале и убывает на интервалах
В точке функция достигает максимума: .
В силу свойства (нечётности функции) минимум можно не вычислять:
Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.
Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».
После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции:
Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания.
5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.
– критические точки.
Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся.
Определим знаки :
График функции является выпуклым на и вогнутым на .
Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась.
Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции:
Построение графика функции по особенным точкам включает в себя исследование самой функции: определение области допустимых значений аргумента, определение области изменения функции, определение четности или нечетности функции, определение точек разрыва функции, нахождение интервалов знакопостоянства функции, нахождение асимптот графика функции. С помощью первой производной можно определить интервалы возрастания (убывания) функции, наличие точек экстремума. По второй производной можно определить интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции, а также точки перегиба. При этом считаем, что если в некоторой точке xo касательная к графику функции выше кривой, то график функции в этой точке имеет выпуклость; если же касательная ниже кривой, то график функции в этой точке имеет вогнутость.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Исследование функции.
а) Область допустимых значений аргумента: (-∞,+∞).
б) Область изменения функции: (-∞, +∞).
в) Функция является нечетной, т.к. y(-x) = -y(x), т.е. график функции симметричен относительно начала координат.
г) Функция является непрерывной, точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.
д) Нахождение уравнения наклонной асимптоты y(x) = k∙x + b , где
k = /x и b =
В данном примере параметры асимптоты соответственно равны:
k = , т.к. старшая степень числителя и знаменателя одинаковые, равные трем, а отношение коэффициентов при этих старших степенях равно единице. При x→+ ∞ для вычисления предела использовали третий замечательный предел.
b = = = 0, при вычислении предела при x→+ ∞ воспользовались третьим замечательным пределом. Итак, график данной функции имеет наклонную асимптоту y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - производная вычислена с помощью формулы дифференцирования частного.
а) Определяем нули производной и точки разрыва, приравнивая соответственно числитель и знаменатель производной нулю: y´=0, еслиx=0. Точек разрыва 1-я производная не имеет.
б) Определяем интервалы знакопостоянства производной, т.е. интервалы монотонности функции: при -∞
3. Исследование функции с помощью 2-ой производной.
Используя формулу дифференцирования частного и произведя алгебраические преобразования, полечим: y´´ = /(x²+3)³
а) Определяем нули 2-ой производной и интервалы знакопостоянства: y´´ = 0, если x=0 иx=+ 3 . Точек разрыва у 2-ой производной нет.
б) Определим интервалы закопостоянства 2-ой производной, т.е. интервалы выпуклости или вогнутости графика функции. При -∞
Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Исследование функции.
а) Область допустимых значений: (-∞,0)U(0,+∞).
б) Область изменения функции: (-∞,+∞).
г) Данная функция имеет точку разрыва 2-ого рода при x=0.
д) Нахождение асимптот. Т.к. функция имеет точку разрыва 2-ого рода при x=0 , то следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту x=0. Наклонных или горизонтальных асимптот данная функция не имеет.
2.Исследование функции с помощью 1-ой производной.
Преобразуем функцию, произведя все алгебраические действия. В результате вид функции значительно упростится: y(x)=x²-x-1+(1/x). От суммы слагаемых очень просто брать производную и получим: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
а) Определяем нули и точки разрыва 1-ой производной. Приводим выражения для 1-ой производной к общему знаменателю и, приравняв числитель, а затем и знаменатель нулю, получим: y´=0 приx=1, y´ - не существуетприx=0.
б) Определим интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства производной. При -∞<x<0
и0
3.
y´´= 2 + 2/x³ . По 2-ой производной определим интервалы выпуклости или вогнутости графика функции, а также, если они имеются, точки перегиба. Приведем выражение для второй производной к общему знаменателю, а затем, приравнивая нулю поочередно числитель и знаменатель, получим: y´´=0 при x=-1, y´´- не существуетпри x=0.
При -∞
рис. 4 рис. 5
Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Исследование функции.
а) Область допустимых значений аргумента: логарифмическая функция существует только для аргументов строго больше нуля, следовательно, x²+4x+5>0 – это условие выполняется при всех значениях аргумента, т.е. О.Д.З. – (-∞, +∞).
б) Область изменения функции: (0, +∞). Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма, и приравниваем функцию нулю: ln((x+2)²+1) =0. Т.е. функция обращается в ноль при x=-2. График функции будет симметричен относительно прямой x=-2.
в) Функция непрерывная, точек разрыва не имеет.
г) Асимптот у графика функции нет.
2.Исследование функции с помощью 1-ой производной.
Используя правило дифференцирования сложной функции, получим: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
а) Определим нули и точки разрыва производной: y´=0, при x=-2. Точек разрыва первая производная не имеет.
б) Определяем интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства первой производной: при -∞<x<-2
производнаяy´<0,
следовательно, функция убывает;при -2
3.Исследование функции по 2-ой производной.
Представим первую производную в следующем виде: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
а) Определим интервалы знакопостоянства второй производной. Так как знаменатель 2-ой производной всегда неотрицателен, то знак второй производной определяется только числителем. y´´=0 при x=-3 иx=-1.
При -∞
Пример: исследовать функцию и построить график y(x) = x²/(x+2)²
1.Исследование функции.
а) Область допустимых значений аргумента (-∞, -2)U(-2, +∞).
б) Область изменения функции ².
а) Определим нули и интервалы знакопостоянства второй производной. Т.к. знаменатель дроби всегда положителен, то знак второй производной полностью определяется числителем. При -∞
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
Точки разрыва. (Если они имеются).
Интервалы возрастания и убывания.
Точки максимума и минимума.
Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
Области выпуклости и вогнутости.
Точки перегиба.(Если они имеются).
Асимптоты.(Если они имеются).
Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки .
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < -,y < 0, кривая выпуклая
- 1 < x
< 0, y
> 0, кривая вогнутая 0 < x
< 1, y
< 0, кривая выпуклая 1 < x
<
,y
> 0, кривая вогнутая < x
< ,
y
> 0, кривая вогнутая Находим
промежутки возрастания
и убывания
функции. Для этого определяем знаки
производной функции на промежутках. -
< x
< -,y
> 0, функция возрастает - 1 < x
< 0, y
< 0, функция убывает 0 < x
< 1, y
< 0, функция убывает 1 < x
<
,y
< 0, функция убывает < x
< ,
y
> 0, функция возрастает Видно,
что точка х = -является точкоймаксимума
,
а точка х =
является точкойминимума
.
Значения функции в этих точках равны
соответственно 3/2
и -3/2. Про
вертикальные асимптоты
было уже сказано выше. Теперь найдем
наклонные
асимптоты
. Итого,
уравнение наклонной асимптоты – y
= x. Построим
график
функции: Ниже
рассмотрим несколько примеров исследования
методами дифференциального исчисления
различных типов функций. Пример:
Методами дифференциального исчисления 1. Областью
определения данной функции являются
все действительные числа (-;
). 3. Точки
пересечения с координатными осями: c
осью Оу: x
= 0; y
= 1; с осью Ох: y
= 0; x
= 1; 4. Точки
разрыва и асимптоты: Вертикальных
асимптот нет. Наклонные
асимптоты: общее уравнение y
= kx
+ b; Итого:
у = -х – наклонная асимптота. 5.
Возрастание и убывание функции, точки
экстремума. Видно, что у
0 при любом х
0, следовательно, функция убывает на
всей области определения и не имеет
экстремумов. В точке х = 0 первая производная
функции равна нулю, однако в этой точке
убывание не сменяется на возрастание,
следовательно, в точке х = 0 функция
скорее всего имеет перегиб. Для нахождения
точек перегиба, находим вторую производную
функции. y
= 0 при х =0 и y
=
при х = 1. Точки
(0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к.
y(1-h)
< 0; y(1+h)
>0; y(-h)
> 0; y(h)
< 0 для любого h
> 0. 6. Построим
график функции. Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график. 1. Областью
определения функции являются все
значения х, кроме х = 0. 2. Функция
является функцией общего вида в смысле
четности и нечетности. 3. Точки
пересечения с координатными осями: c
осью Ох: y
= 0; x
=
с осью Оу: x
= 0; y
– не существует. 4. Точка
х = 0 является точкой разрыва
,
следовательно, прямая х = 0 является
вертикальной асимптотой. Наклонные
асимптоты ищем в виде: y
= kx
+ b. Наклонная
асимптота у = х. 5. Находим
точки экстремума функции. ;
y
= 0 при х = 2, у
=
при х = 0. y
> 0 при х
(-,
0) – функция возрастает, y
< 0 при х
(0, 2) – функция убывает, у
> 0 при х
(2, )
– функция возрастает. Таким
образом, точка (2, 3) является точкой
минимума. Для
определения характера выпуклости/вогнутости
функции находим вторую производную. > 0 при любом х
0, следовательно, функция вогнутая на
всей области определения. 6. Построим
график функции. Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график. Областью
определения данной функции является
промежуток х
(-,
). В
смысле четности и нечетности функция
является функцией общего вида. Точки
пересечения с осями координат: с осью
Оу:
x = 0, y = 0; с
осью Ох: y
= 0, x
= 0, x
= 1. Асимптоты
кривой. Вертикальных
асимптот нет. Попробуем
найти наклонные асимптоты в виде y
= kx
+ b. - наклонных
асимптот не существует. Находим
точки экстремума. Для
нахождения критических точек следует
решить уравнение 4х 3
– 9х 2
+6х –1 = 0. Для
этого разложим данный многочлен третьей
степени на множители. Подбором
можно определить, что одним из корней
этого уравнения является число х = 1.
Тогда: 4x 3
– 9x 2
+ 6x
– 1 x
- 1
4x 3
– 4x 2
4x 2
– 5x
+ 1 Тогда
можно записать (х – 1)(4х 2
– 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две
критические точки: x
= 1 и x
= ¼. Примечание.
Операции деления многочленов можно
было избежать, если при нахождении
производной воспользоваться формулой
производной произведения: Найдем
вторую производную функции: 12x 2
– 18x
+ 6. Приравнивая к нулю, находим: Систематизируем
полученную информацию в таблице: вып. вниз возрастает вып. вниз возрастает вып.вверх возрастает вып. вниз Построим
график функции.